JUNIO

Resumen 01 / 06 / 2016

Evaluación 1, del segundo bimestre, la cual abarco los temas tratados anteriores.

Resumen 06 / 06 / 2016

EXPERIMENTO ESTADÍSTICO

Es un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés. Un experimento requiere realizar pruebas o ensayos para obtener resultados.

Un Experimento Estadístico tiene las siguientes características:

1.  Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento.

2.  No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)

3.  Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares.

Se puede establecer un patrón predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento. Esta propiedad se denomina regularidad estadística.

ESPACIO MUESTRAL

El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral.

Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.

S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.

S es continuo si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este caso S es infinito por definición

EVENTOS

Un evento es algún subconjunto del Espacio Muestral S. Se pueden usar letras mayúsculas para denotar eventos: A, B, . . . También se pueden usar índices E₁, E₂, . . .

Ejemplo:

Experimento:    Lanzar un dado y observar el resultado

Espacio Muestral:        S = {1, 2, 3, 4, 5, 6]

Describa el evento de interés:  A: el resultado es un número par

Respuesta:       A = {2, 4, 6}

PROBABILIDAD DE EVENTOS

El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización

Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice

P(A)=0             es la certeza de que no se realizará

P(A)=1             es la certeza de que si se realizará

            P(A)=0.5           indica igual posibilidad de que se realice o no se realice

Asignación de valores de probabilidad a eventos

1) Empírica

Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de intentos realizados.

Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatro ensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayo se obtenga el resultado esperado tiene un valor aproximadamente: 4/20 = 0.2 = 20%

2) Mediante modelos matemáticos

Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos. Algunos de estos modelos son estudiados en este curso, tanto para variables discretas como continuas.

3) Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).

Probabilidad de Eventos Simples

Sean  S: Espacio muestral, con n puntos muestrales

                      A: Evento cualquiera de S con k puntos muestrales

_Entonces      E1, E2, . . ., Ek: Eventos simples incluidos en A

                      P(A) = P(E₁ ∪ E₂ ∪ . . . ∪ E_k) = P(E₁) + P(E₂) + . . . + P(E_k)

          Si cada evento simple tiene igual probabilidad, entonces

                      P(A) = k (1/n)

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS

En esta sección se introduce la formalidad matemática necesaria para fundamentar la Teoría de la Probabilidad de Eventos

Sea      S:         Espacio muestral

            E:         Evento de S

            P(E): Probabilidad del evento E

          ℜ: Conjunto de los reales

Sea P una función que asocia a cada evento E de S un número real:

Función de Probabilidad de un Evento

P: S → ℜ

E → P(E),  dom P = S, rg P = [0, 1]

Axiomas de Probabilidad de Eventos

1) P(E) ≥ 0

2) P(S) = 1

3) E₁, E₂ ∈ S ∧ E₁ ∩ E₂ = ∅ ⇒ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂)

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS

Probabilidad de un Evento Nulo: P(∅) = 0

Probabilidad del Evento Complemento: P(E^c) = 1 – P(E)

Probabilidad de Eventos Incluidos: Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)

La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Probabilidad de la Diferencia de Eventos: P(A – B) = P(A) – P(A∩B) = P(A∩B^c)

Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:  P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Las propiedades pueden extenderse a más eventos

Si A, B, C son eventos mutuamente excluyentes,

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)

Si A, B, C son eventos cualesquiera,

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Resumen 08 / 06 / 2016

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A, B eventos de S

La Probabilidad Condicional del evento A dado el evento B se escribe P(A|B) y es: 

Ejemplo.- Use la fórmula de la Probabilidad Condicional para resolver el ejemplo anterior,

S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)} B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}

A∩B = {(5, s)}  ⇒  P(A | B) =	P(A ∩ B)	=	1/12	= 1/6
	P(B)		6/12

Resumen 13 / 06 / 2016

EVENTOS INDEPENDIENTES

Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son independientes si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A

Lo anterior es equivalente a la siguiente definición:

A y B son eventos independientes si P(A∩B) = P(A) P(B)

Ejemplo. Calcule la probabilidad que el último dígito del número de una placa de carro elegida al azar sea par y el penúltimo dígito sea impar

Sean los eventos

A:  El último digito es par

B:  El penúltimo dígito es impar

Cada evento no está relacionado con el otro evento, entonces son independientes. Por lo tanto,

P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.5 x 0.5 = 0.25

PROBABILIDAD TOTAL

Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro evento del mismo espacio muestral.

Sean B₁, B ₂, ... ,B_K eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:

a)     ∀i,j (B_i∩B_j = ∅, i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)

b)    B₁∪B₂∪ ... ∪B_K = S (La unión de todos estos eventos es S)

Sea A un evento cualquiera de S  La realización de A depende de los eventos B₁, B₂, ... ,B_K

Fórmula de la Probabilidad Total
P(A) = P(B₁) P(A|B₁)+P(B₂) P(A|B₂)+...+P(B_k) P(A|B_k) = ∑P(B_i )P(A | B_i )


Resumen 20 / 06 / 2016

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
En el material estudiado anteriormente aprendimos a calcular la probabilidad de eventos de un espacio muestral S. En esta unidad estudiaremos reglas para establecer correspondencias de los elementos de S con los números reales, para luego asignarles un valor de probabilidad.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE

ALEATORIA DISCRETA

Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

Sea X: Variable aleatoria discreta

Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x

Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta X

Sean    X: Variable aleatoria discreta

f(x) = P(X=x):  Probabilidad que X tome el valor x

Entonces, la correspondencia f: X → ℜ,

x → f(x) = P(X=x),  dom f = X,  rg f ⊂ [0, 1]

Es la Distribución de Probabilidad de la Variable Aleatoria Discreta X

Propiedades de la Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta

Sean X:  Variable aleatoria discreta

f(x): Distribución de Probabilidad de X

Propiedades de f(x)

1) ∀x [ f(x) ≥ 0 ]   Los valores de probabilidad no pueden ser negativos

      2) ∑f(x) = 1      La suma de todos los valores de probabilidad es 1

Ejemplo. En el experimento de lanzar tres monedas y observar el resultado de cada una: cara(c), o sello(s). Encuentre la Distribución de Probabilidad en forma tabular, de la variable aleatoria X: cantidad de sellos que se obtienen

Espacio muestral: S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}

e (elemento de S)	x (valor de X)
( c, c, c)	0
( c, c, s)	1
( c, s, c)	1
( s, c, c)	1
( c, s, s)	2
( s, c, s)	2
( s, s, c)	2
( s, s, s)	3

Los valores de probabilidad para este ejemplo se pueden obtener del conteo de valores x:

El valor 0 ocurre 1 vez entre 8, el valor 1 ocurre 3 veces entre 8, etc

x             f(x)=P(X=x)

0                            1/8

1                            3/8

2                            3/8

                     3              1/8  

Resumen 22 / 06 / 2016

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA

DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Distribución de Probabilidad Acumulada de la variable aleatoria X

Sean  X:	Variable aleatoria discreta,
f:	Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X
F:	Distribución de Probabilidad Acumulada de la variable aleatoria discreta X
Entonces

F(x) = P(X≤x) = ∑f(t)  es la Distribución de Probabilidad Acumulada de X

t≤x

Correspondencia funcional de la distribución de probabilidad acumulada

F: ℜ → ℜ,        dom F = ℜ,    rg F ⊂ [0, 1]

Ejemplo. Encuentre la distribución de probabilidad acumulada para el ejemplo de las tres monedas

Respuesta:

Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de sellos que se obtienen) Su distribución de probabilidad es:

x	f(x)=P(X=x)
0	1/8
1	3/8
2	3/8
3	1/8

Entonces,	= P(X≤0) = ∑f(t) = f(0) =1/8
F(0)
			t ≤0
F(1)	= P(X≤1) = ∑f(t) = f(0) + f(1)= 1/8 + 3/8 = 1/2
			t ≤1
F(2)	= P(X≤2) = ∑f(t) = f(0) + f(1) + f(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8
			t ≤2
F(3)	= P(X≤3) = ∑f(t) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1
			t ≤3
Distribución de Probabilidad Acumulada de la vaiable aleatoria X:
		0,	x < 0
		1/8,	0 ≤ x < 1
			1 ≤ x < 2
F(x) =  1/2,
			2 ≤ x < 3
	7 /8,
		1,	x ≥ 3

Propiedades de la Distribución Acumulada para Variables Aleatorias Discretas

1) 0 ≤ F(x )≤1                                       F es una función de probabilidad

2) a ≤ b ⇒ F(a) ≤ F(b)                          F es creciente

3) P(X>a) = 1 – P(X≤a) = 1 – F(a)         Complemento de Probabilidad

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA

Valor Esperado o Media de una Variable Aleatoria Discreta

Sean    X:         Variable aleatoria discreta

f(x):      Distribución de probabilidad de X

µ  o E(X): Media o Valor Esperado de la Variable Aleatoria X

Entonces:

µ  = E(X) = ∑xf(x)   es la Media o Valor Esperado de X

x

Ejemplo. Calcule el valor esperado de la variable aleatoria X en el experimento de lanzar tres monedas, siendo X: Número de sellos que se obtienen

Respuesta: De un ejemplo anterior, se tiene la Distribución de Probabilidad de X

x             f(x)=P(X=x)

0                            1/8

1                            3/8

2                            3/8

3                            1/8

Entonces, el valor esperado de X es:

3

µ = E(X) =  ∑xf(x) = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8) = 1.5

x =0

Significa que si se realizaran un gran número de ensayos, en promedio se obtendrán 1.5 sellos.

Resumen 27 / 06 / 2016

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea	X:	Variable aleatoria discreta
	f(x):	Distribución de probabilidad

µ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X Entonces

σ²= V(X) = E[(X - µ)²] = ∑(x − µ)²f(x)  es la Varianza de la variable aleatoria X

x

Ejemplo. En el experimento de lanzar tres monedas, se definió la variable aleatoria X: Número de sellos que se obtienen. Calcule la varianza de esta variable aleatoria.

Respuesta: Se tiene la distribución de probabilidad de X

x             f(x)=P(X=x)

0                            1/8

1                            3/8

2                            3/8

3                            1/8

3

Previamente se ha calculado el valor esperado de X: µ = E(X) =  ∑xf(x) = 1.5

x =0

Entonces, usando la definición de la varianza de X,

σ²= V(X) = E[(X-µ)²] = ∑³ (x − µ)²f(x) =

x =0

(0-1.5)²(1/8) +(1-1.5)²(3/8) + . . . + (2-1.5)²(3/8)+(3-1.5)²(1/8) = 0.75

Fórmula alterna para calcular la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta

σ² = V(X) = E[(X–µ)²] = E(X²) – µ²

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

Sean	X:	Variable aleatoria discreta
	f(x):	Distribución de probabilidad de X
	a, b ∈ ℜ: Números reales cualesquiera
Entonces		V(aX + b) = a2V(X)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

Resumen 29 / 06 / 2016

Distribución discreta uniforme

Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado.

Si X es la variable aleatoria correspondiente a los seis resultados posibles, encuentre su distribución de probabilidad.

Respuesta

Cada resultado tiene igual probabilidad, por lo tanto la distribución de probabilidad de X es discreta uniforme:

1/6,		x=1, 2, . . . , 6
P(X = x) = f(x) =	0,	para otro x

Calcule la probabilidad que X tome el valor 3

P(X = 3) = f(3) = 1/6

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
 

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Ejemplo. Suponer que la probabilidad de éxito de un experimento es 0.2 y se realizan cinco ensayos independientes. Calcule la probabilidad que el primero y el último ensayo sean éxitos, y los tres ensayos intermedios sean fracasos.

Sean    1: El ensayo es éxito (con probabilidad 0.2) 0: El ensayo es fracaso (con probabilidad 0.8)

Entonces

P(X=1,X=0,X=0,X=0,X=1) = f(1)f(0)f(0)f(0)f(1) = (0.2)(0.8)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.0205 = 2.05%

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplo. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5