JULIO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

P(X=x) = función de densidad de la variable aleatoria binomial negativa.

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

K = cantidad de éxitos

x = cantidad de fracasos

Ejemplo. La probabilidad que un alumno que no entienda binomial negativa repruebe el examen es de 75% si se pide seleccionar 5 alumnos reprobados al azar ¿calcular la probabilidad de haber tomado 3 alumnos aprobados antes de los 5 reprobados

p = 0.75

q = 0.25

K = 5

x = 3

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Sean   X: Variable aleatoria discreta con Distribución Geométrica (cantidad de ensayos realizados hasta obtener el primer ‘éxito’)

 x = 1, 2, 3, ... (valores factibles para la variable X) p:probabilidad constante de "éxito" en cada ensayo

Entonces la distribución de probabilidad de X es:

P(X=x) = f(x) = p(1-p)^x-1 , x = 1, 2, 3, ...

Ejemplo: Del salon el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.

Definir éxito: sea hombre.

x = 4

p = 0.60

q = 0.40

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Media y Varianza de la Distribución de Poisson

Media:  µ = E[X] = λ,    Varianza:   V[X] = λ

Ejemplo. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego,

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Función de Densidad de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria continua.

Se dice que f es una función de densidad de probabilidad si y solo si,

P(a≤X≤b) = ∫f(x)dx

Propiedades de una Función de Densidad de Probabilidad

1)	f(x) ≥ 0,  -∞ < x < +∞	f(x) no puede tomar valores negativos
	+∞
2)	∫ f(x)dx = 1	El área total debajo de f(x) debe ser igual a 1

−∞

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Sea X una variable aleatoria contínua con función de densidad f(x)

Entonces, la función:

               F(x) = P(X≤x) =∫ f(t)dt ,  para -∞ < x < +∞

               se denomina función de distribución de la variable aleatoria X

1)	d	F(x) = f(x)	La derivada de la función de distribución es la densidad
	dx
2)	a < b ⇒ F(a) < F(b),		F es una función creciente
3)	P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)

MEDIA Y VARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Sean  X:	Variable aleatoria continua
f(x):  Función de densidad de probabilidad
	+∞
Media de X:	µ = E(X) =  ∫ xf(x)dx
	−∞
	+∞
Varianza de X:	σ2 = V(X) = E[(X - µ)2] =  ∫ (x − µ)2 f(x)dx
	−∞

PROPIEDADES DE LA MEDIA Y LA VARIANZA

Sea X: una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad f(x) a, b ∈ ℜ

Media:	E(aX + b) = aE(X) + b
Corolarios:	E(aX) = aE(X);	E(b) = b
Varianza:	V(aX + b) = a2V(X)
Corolarios:	V(aX) = a2V(X);	V(b) = 0

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

Distribución Uniforme Continua

Sea      X: Variable aleatoria continua.

X tiene distribución Uniforme si su densidad de probabilidad está dada por,

	1	,	a ≤ x ≤ b
f(x) = b − a
	0,		para otro x

a, b son los parámetros para este modelo

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA

Sea      X: Variable aleatoria con distribución Uniforme Continua

Media:              µ = E(X) = 1/₂ (a + b)

Varianza:          σ² = V(X) = 1/12 (b − a)²

Sea      X: Variable aleatoria con distribución Uniforme Continua

Media:              µ = E(X) = ₂¹ (a + b)

Varianza:          σ² = V(X) = ₁₂¹ (b − a)²

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

De acuerdo a la definición establecida:

x

F(x) = P(X≤x) = _∫ f(t)dt ,  para -∞ < x < +∞

−∞

DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sea X una variable aleatoria con distribución Normal: X ∼ N(µ, σ),

Entonces, la variable aleatoria  Z =	X − µ
	σ
Tiene distribución Normal Estándar:	Z ∼ N(0, 1)

Ejemplo. 

Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), 

hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de 

X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Distribución Gamma

Sea	X: Variable aleatoria continua
	X tiene distribución Gamma si su función de densidad es

MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

Sea X	una variable aleatoria continua con distribución Gamma, entonces
Media:	µ = E(X) = αβ	Varianza:   σ2 = V(X) = αβ2

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Media y Varianza de la Distribución Exponencial

Sea X: Variable aleatoria continua con distribución Exponencial, entonces 

Media: µ = E(X) = β 

Varianza: σ² = V(X) = β²